¿Cuáles son
las formas de calcular la suma de los ángulos interiores de un polígono de n
lados?
Antes de
comenzar, es necesario tener presentes algunas cosas
Consideración
1. Los ángulos
se miden en grados y se miden en el sentido contrario a las manecillas del
reloj.
Conforme la
abertura entre las líneas aumenta, también aumenta el tamaño del ángulo. Fíjate
en estos ángulos: }
Pero hay un
límite: el momento en el que llegamos al punto de partida. Entonces decimos que
el ángulo mide 360º }
En general se
dice que alrededor de un punto hay un ángulo de 360º
Consideración
2. Los polígonos
regulares tienen otras particularidades además de tener todos sus lados y sus
ángulos iguales. También todas sus diagonales y todas las líneas trazadas desde
el centro son iguales entre sí. En estos pentágonos,
tanto las líneas rojas como las diagonales azules son iguales entre sí.
Consideración
3. Los
triángulos isósceles tienen dos ángulos que son iguales, justo los dos ángulos
que los lados iguales forman con el lado desigual.
Consideración
4. La suma de
los ángulos internos de cualquier triángulo es 180º.
Ahora sí, vamos
al cálculo del ángulo interno de un polígono regular. Tomemos como ejemplo un
pentágono regular.
Comenzamos por
trazar las cinco líneas desde el centro del pentágono hasta cada uno de sus
vértices.
Con esto, hemos
dividido al pentágono en cinco triángulos iguales. Como el ángulo alrededor de
un punto es 360º, podemos decir que los ángulos en las puntas de todos los
triángulos alrededor de ese punto suman 360º. Y como son cinco ángulos, sabemos
que cada uno mide exactamente
, es decir, 72
Sabemos que la
suma de los ángulos internos de cualquier triángulo, en particular de
cualquiera de éstos, es 180º. Fíjate en cualquier triángulo. Como ya sabemos
que el ángulo de la punta mide 72º, sabemos que la suma de los dos de la base
tiene que ser 108º para que los tres ángulos sumen 180º.
También sabemos
que este triángulo, así como los otros, es isósceles porque todas las líneas
trazadas desde el centro de un polígono regular son iguales. Entonces, podemos
afirmar que los dos ángulos de la base son iguales, es decir, que cada uno es
de 54º. Como esto es cierto para todos los triángulos, los ángulos quedarían
así:
Pero en cada
ángulo de los vértices del pentágono cabe un ángulo de la base de dos
triángulos y como cada uno es de 54º, sabemos que el ángulo del pentágono es de
108º. Fíjate que 108º es lo mismo que obtuvimos cuando restamos 180º – 72º, la
suma de los ángulos internos de un triángulo menos lo que mide el ángulo en la
punta de un triángulo.
Para saber
cuánto mide el ángulo externo, simplemente restamos 108º de 180º; es decir, el
ángulo externo de un pentágono es de 72º. Es lo mismo que miden los ángulos en
la punta de los triángulos.
****
Hagamos el
proceso general para obtener una fórmula. Primero pensemos es un polígono que
tenga un número de lados cualquiera. Digamos que la letra n representa
ese número de lados.
En el caso del
pentágono, el número de triángulos que se construyeron en el interior fue
cinco, número igual al número de lados del pentágono. Esto pasa para todos los
polígonos: el número de triángulos que se forman en su interior desde el centro
hasta los vértices es igual al número de lados del polígono. ¿Podrías decir por
qué?
Entonces, en un
triángulo de n lados podemos formar n triángulos a partir del
centro.
Justo alrededor
del centro del polígono tenemos n ángulos iguales. Entonces podemos
decir que cada uno de esos ángulos mide
. Para saber cuánto mide el ángulo interno del polígono,
simplemente hay que hacer la operación: 180º –
.
Recuerda que
los valores del ángulo interno y del ángulo externo deben sumar 180°. ¿Te
fijaste cuánto suman el ángulo interno del pentágono y el de la punta de
cualquiera de los triángulos? Esto pasa porque el valor del ángulo externo de
un polígono es igual a lo que mide el ángulo de la punta del cualquiera de los
triángulos:
. Hagamos un par
de ejemplos. Primero tomemos un dodecágono, polígono de 12 lados:
Ángulo interno
= 180º –
= 180º –
= 180º – 30º = 150º
Ángulo externo
=
=
= 30º
Y ahora un
octágono:
Ángulo interno
= 180º –
= 180º –
= 180º – 45º = 135º
Ángulo externo =
=
=
45º
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